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사실적인 변형 예측을 위한 비선형 변형 해석

Joseph Lin, R&D Engineer at Moldex3D




변형 예측은 일반적으로 사출 성형 시뮬레이션에서 중요한 문제입니다. 선형 탄성법은 대부분의 변형 해석에 적용됩니다. 일반적으로 모델은 선형을 유지하는 것이 적합하며 기하학, 재료 또는 경계의 비선형 효과는 고려되지 않습니다. 그러나 시뮬레이션 결과는 때때로 실험 결과와 일치하지 않는 경우가 있으며, 특히 자동차 제품 및 광학 부품과 같이 얇은 기하학적 특성을 가진 모델의 경우 더욱 그렇습니다. 수치 시뮬레이션과 실험의 차이를 보완하기 위해 기하학적 비선형 효과를 연산에 도입하려고 시도했으며, 이는 다음과 같이 해석됩니다.



비선형 구조 해석


n 수치 구조 해석에서 선형 탄성 해석은 외력 하에서 구조물의 변형을 계산하는 가장 간단한 방법입니다. 그러나 실제 실험의 경우 형상 또는 재료의 비선형 특성이 변형에 상당한 영향을 미칠 수 있습니다. 이러한 효과는 힘과 변위 사이의 비선형 관계로 이어질 수 있습니다. 그림 1은 선형탄성해석과 비선형탄성해석의 평형경로 차이를 보여줍니다.


그림 1. 선형탄성해석과 비선형탄성해석의 평형 경로 차이


본 게시글은 기하학적 변화로 인한 비선형 효과에 중점을 두었습니다. 이러한 종류의 비선형성은 일반적으로 얇고 껍질 같은 제품이나 두께 분포가 상당히 고르지 않은 제품에서 발생합니다. 따라서 기하학적 비선형 효과를 고려하기 위해서는 유한 변형 이론을 고려해야 합니다.



유한 변형 이론


유한 변형 이론은 원래 구성과 변형된 구성 사이의 위치 변화를 고려합니다. 따라서 강성행렬이 동일하게 유지되는 선형탄성해석과 달리 비선형해석의 구조강성과 경계는 형상의 변화로 인해 계산 과정에서 변경될 수 있습니다. 따라서 구조 시스템은 변위의 함수로 볼 수 있으며 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 K(u)는 구조 강성, △u는 변위 증분, f(u)는 외력입니다.

위의 나열된 방정식은 비선형입니다. 탄젠트 강성을 선형화하고 반복적으로 해결해야 합니다. 평형 시스템의 선형화는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

반복 계산을 처리하기 위해 비선형 수학 문제를 해결하는 가장 유명한 방법인 Newton-Raphson 방법을 채택합니다. 분석은 수렴으로 간주되고 잔류 힘이 수렴 기준보다 작아지면 완료됩니다.



불완전성의 적용


때로는 수치 해석 중 구조 해석에서 비선형 시나리오가 쉽게 발생하지 않습니다. 실제 모델은 일반적으로 불완전하지만 제조 프로세스의 결함이 모델에 존재할 수 있습니다. 이러한 결함은 일반적으로 비선형 평형 경로를 트리거할 수 있습니다. 예를 들면, 대부분의 수치 소프트웨어는 불완전함을 보여주기 위해 작은 섭동을 적용합니다. 우리의 비선형 뒤틀림 해석은 비선형 특성을 유발하는 결함으로 좌굴 해석의 고유 벡터를 도입합니다.



변형 예측을 위한 비선형 변형 해석


Moldex3D에서는 변형 해석에 사용할 수 있는 "Nonlinear warpage analysis"이라는 새로운 솔버를 제공합니다. 이 새로운 솔버에서 사용자는 솔버 옵션에서 "Nonlinear warp analysis"을 선택하기만 하면 자동으로 비선형 기하학적 효과를 고려합니다.


먼저, 기하학적 비선형성 고려의 영향을 설명하기 위해 간단한 사례를 살펴보겠습니다. 그림 2와 같이 “Standard Warp”와 “Nonlinear Warp”의 결과를 비교해보면,각 결과의 변형된 형상이 확연히 다릅니다. 결과의 평형 경로를 관찰하면 이 모델의 기하학적 비선형 속성이 분석 중에 중요한 역할을 한다는 것을 간단히 알 수 있습니다. 따라서 이러한 쉘 형태의 제품에는 기하학적 비선형성의 영향을 고려하는 것이 불가피합니다.

또한, “Nonlinear warp” 해석은 사용자가 최대값 또는 응력 집중이 어디인지 확인할 수 있도록 응력 분포를 제공합니다


그림 2. 비선형 변형 해석 (좌측), 선형 변형 해석 (우측)


그림3. 하중 변위 곡선


그림 4. 각 구성요소의 응력 분포


실제 사례 : 자동차 부품


자동차 부품은 일반적으로 경량화를 위해 얇은 두께로 제작됩니다. 이러한 고려 사항으로 기하학적 효과는 기하학적 비선형성뿐만 아니라 다른 물리적 필드의 미분 분포를 유발할 수 있습니다.

기하학적 비선형성의 영향을 보여주기 위해 자동차 부품을 선택하였습니다. 그림 5에서 볼 수 있듯이 선형 및 비선형 휨 해석 사이에는 명백한 변형 차이가 있습니다. 그림 6에 표시된 이 강조 표시된 영역 근처의 부피 수축 결과를 검사하면 두께 값이 더 얇아 다른 영역의 값보다 값이 높습니다. 이 경우, 모델 형상, 공정 조건 또는 섬유 존재에서 비롯될 수 있는 차동 수축 분포는 기하학적 비선형성을 고려할 때 변형에 크게 영향을 미칩니다. 따라서 쉘과 같은 제품의 경우 일반적으로 사용자가 변형 예측을 위해 "Nonlinear warp" 해석을 선택하는 것이 좋습니다.

그림 5. 선형(좌측)과 비선형(우측) 결과의 비교

그림 6. 충진/보압 단계에서의 Volume shrinkage


감소된 매쉬의 적용


반복적인 과정으로 인해 비선형 해석은 시간이 많이 걸리고 연산 비용이 많이 드는 것으로 잘 알려져 있습니다. 또한 유동해석용 메쉬는 요소수가 많고 요소형상이 크기 때문에 구조해석에 적합하지 않습니다. 예를 들어, 그림 7에서 왼쪽 메쉬는 원래 유동 해석을 위해 구성되었지만 경계층의 메쉬는 하중을 받으면 요소가 왜곡될 수 있기 때문에 구조 해석에 적합하지 않은 경우입니다. 따라서 일반적으로, 균일한 요소 분포를 갖는 그림 7에 표시된 오른쪽과 같은 메쉬를 구성하시기를 권장합니다.


Moldex3D는 사용자가 요소 번호와 품질이 구조 분석에 더 적합한 메쉬를 가져올 수 있는 인터페이스를 제공합니다. 이 작업은 사출 시뮬레이션의 데이터에 대한 매핑 도구를 사용하여 계산 비용을 크게 줄이고 중요한 물리적 값을 유지할 수 있습니다.


그림 7. 원래의 매쉬와 축소된 매쉬의 비교


결론


표준 및 향상된 변형 해석을 제외하고, Moldex3D는 기하학적 비선형성을 고려하는 또 다른 변형 솔버를 제공합니다. 사용자는 쉘형 제품, 자동차 부품 및 광학 부품에 대한 변형 해석에 이 솔버를 선택하는 것이 좋습니다. 또한 사용자가 매쉬 요소의 개수가 더 적은 모델을 사용하여 해석을 수행할 수 있는 인터페이스가 제공됩니다. 이 작업을 통해, 해석에 필요한 총 연산 비용이 낮아집니다.


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